直角三角形で最も有名な公式である三平方の定理（ピタゴラスの定理）は中学3年の数学で学習します。三角関数については別の記事ですでに解説していますが、ATAN関数で直角三角形の角度を求めることができます（参考：Excelの三角関数（SIN・COS・TAN）の具体的な使い方と注意点【サインコサインタンジェント】）。
三平方の定理は、「直角三角形の斜辺の長さは、他の2辺の長さの2乗の和である」というものですが、Excelで、2乗やルートの計算ができれば辺の長さを求めることができます。また、直方体やxyz座標のような3次元空間でも三平方の定理を使います。
そこで、今回は、直角三角形の辺の長さと角度に関する問題と、三平方の定理を用いた応用問題を出題します。
目次
１．三平方の定理（ピタゴラスの定理）
問題
Excelで次の図を描き、三平方の定理を説明しなさい。
解説
セルに斜めの罫線を引くことができますから、罫線を用いて直角三角形を描くこともできます（参考：Excelで斜めの罫線を引いて文字を入れる表の練習問題集）。
三平方の定理の証明方法は100個以上あるといわれていますが、最も有名な証明は直角三角形を4つ並べる方法です。
斜辺の長さをc、それ以外の2辺の長さをa、bとすると、大きい正方形の面積は(a+b)2、小さい正方形の面積はc2で、直角三角形の面積はab/2 なので、(a+b)2=c2+ab/2 *4となり、両辺から2abを引くとa2+b2=c2となります。
２．直角三角形の斜辺、2辺の長さ、面積
問題
Excelを用いて直角三角形の辺の長さと面積を求めようとしている。
C列に斜辺の長さを入力し、A列とB列にその他の2辺の長さを入力するとき、残りの辺の長さを求めなさい。また、面積を求めなさい。
解説
直角三角形の3編の長さのうち2つが分かっていれば、残りの1つを求めることができます。2辺の長さが分かっていれば、2乗＋2乗のルートです。Excelで2乗は「^2」、ルートは「^0.5」です（参考：【Excel】逆数と反数、平方根、累乗は初心者の段階で習得すべき＿数式の基本）。
=(A2^2+B2^2)^0.5 と入力します。
2辺の長さが5と12のとき、斜辺の長さは13となります。
斜辺が分かっているときは、2乗－2乗のルートです。=(C3^2-A3^2)^0.5と入力します。ルートなので小数になることもあります。
同様に、=(C4^2-B4^2)^0.5と入力します。
面積は底辺＊高さ/2です。
３．二等辺三角形
（１）二等辺三角形の高さと面積
問題
3辺の長さが７、７、５の二等辺三角形の高さと面積を求めなさい。
解説
二等辺三角形の等しい辺（等辺）は直角三角形の斜辺にあたります。底辺は半分にします。斜辺の長さが分かっているので、高さは2乗ー2乗です。
=(A2^2-(B2/2)^2)^0.5 と入力します。
面積は底辺＊高さ/2です。
（２）正三角形
問題
A列に正三角形の1辺の長さを入力した。B列に高さ、C列に面積を求めなさい。
解説
二等辺三角形と同じように2乗ー2乗で高さを求めます。=(A2^2-(A2/2)^2)^0.5 と入力します。
面積は底辺＊高さ/2です。
別解
正三角形の高さは、1辺の長さの(ルート3)/2倍です（sin60°）。
A列に3^0.5/2をかけます。
面積は1辺の長さの2乗の 3^0.5/4 倍です（sin60°/2）。
- =A2^2*3^0.5/4
（３）円すい
問題
母線＝７、底面の半径＝４の円錐の高さと体積を求めなさい。
解説
円錐を縦に切断すると断面は二等辺三角形です。円錐の母線が直角三角形の斜辺にあたります。斜辺の長さが分かっているので、高さは2乗ー2乗です。
=(A2^2-B2^2)^0.5 と入力します。
体積は半径^2＊円周率＊高さ/3です。円周率は「PI()」です。
４．直方体の対角線の長さ
問題
（１）縦＝５、横＝７、高さ＝６の直方体の対角線の長さを求めなさい。
（２）1辺の長さ＝15の立方体の対角線の長さを求めなさい。
解説
直方体の対角線とは、直方体の中心を通って、反対側にある頂点同士を結ぶ線のことですが、この長さは2乗＋2乗＋2乗のルートです。
=(B1^2+B2^2+B3^2)^0.5 です。
縦、横、長さをすべて15にすると、立方体の対角線の長さになります。
別解
立方体の対角線の長さは、1辺の長さのルート3倍です。3^0.5をかけます。
５．2点間の距離
（１）2次元の座標
問題
xy座標平面上に2点A、Bがあり、それぞれのx座標、y座標を入力した。2点間の距離を求めなさい。
解説
x座標同士の差とy座標同士の差が直角三角形の2辺であり、求める2点間の距離は斜辺にあたります。したがって、三平方の定理が使えます。
- ( (x座標の差)^2+(y座標の差)^2)^0.5
=( (A3-C3)^2+(B3-D3)^2 )^0.5と入力します。
（２）3次元の座標
問題
xyz座標空間に2点A、Bがあり、それぞれのx座標、y座標、z座標を入力した。
2点間の距離を求めなさい。
解説
平面の場合は直角三角形として考えられますが、空間の場合は直方体の対角線として考えられます。x座標の差、y座標の差、z座標の差が直方体の縦、横、高さであり、求める2点間の距離は対角線にあたります。したがって、三平方の定理が使えます。
- ( (x座標の差)^2+(y座標の差)^2+(z座標の差)^2 )^0.5
=( (A3-D3)^2+(B3-E3)^2+(C3-F3)^2 )^0.5と入力します。
６．直角三角形の底辺と高さと角度の計算（TAN関数）
問題
直角三角形の高さ、底辺、鋭角の角度のうち2つが分かっていれば残り1つを求めることができる。空欄を求めなさい。
解説
底辺（横幅）の長さに対する、高さの比率をtan（タンジェント）といいます。
- tan = 高さ/底辺
底辺が分かっていれば、tanを掛けることで高さを求めることができます。ExcelでtanはTAN関数ですが、引数はラジアン（弧度法）なのでRADIANS関数で囲む必要があります（参考：Excelの三角関数（SIN・COS・TAN）の具体的な使い方と注意点）。
- 高さb = 底辺a＊TAN
- =B2*TAN(RADIANS(C2))
逆に、高さから底辺を求めるにはTANで割ります。
- 底辺a = 高さb/TAN
- =A3/TAN(RADIANS(C3))
高さが５、底辺が７のとき、TAN＝5/7です。TANが分かっているときの角度を、arctan（アークタンジェント）といいます（参考：【Excel】三角関数と逆三角関数で、三角形の辺の長さや角度を求める方法まとめ）。
- 角度 = arctan(TAN)
ExcelではATAN関数です。ただし、答えはラジアンなので度数法になおします。度数に直す関数はDEGREES関数です。
- =DEGREES(ATAN(A4/B4))
ちなみに、直角三角形の直角以外の2つの角の和は90°なので、90から角度を引けば残りの角度を求めることができます。
解説は以上です。
