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【Excel】パスカルの三角形の簡単な作り方と最短経路問題を解く方法

 

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パスカルの三角形Pascal's triangle)は、数字を三角形状に並べたものです。17世紀のフランスの哲学者ブレーズ・パスカルの名前が付けられていますが、パスカルが生まれる何百年も前から数学の古い文献に載っている、数学的に特徴のある三角形です。

一番上に「1」を書き、右下と左下方向にも「1」を書きます。2段目の1と1を足すと2です。このように左上と右上の数字を足して、ピラミッドの形に並べます。

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これを用いて、最短経路問題をExcelで解いてみたいと思います。

 

目次

問題文のあとに簡単な操作方法を解説していますが、静止画では、わかりにくいと思いますので、最後に動画を載せています。ぜひご覧ください。

1.エクセルでパスカルの三角形を作る

問題

次の図のように入力しなさい。

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解説

Excelでパスカルの三角形を作ってみましょう。A列~W列の幅を狭くします。さらに、すべての列を中央揃えにします。

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セルL1に「」と入力します。

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セルB1に「=A1+C1」と入力します。

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これを、オートフィルでB1:V11にコピーします。

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「0」を消せば完成ですが、0を消す方法が2通りあります。

B1:V11を選択したまま、検索の画面を出します(Ctrl+F)。検索する文字列を「」、オプションとして「セル内容が完全に同一であるものを検索する」にチェックを入れ、検索対象を「」とします。

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すべて検索します。

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そして、この検索の画面で、Ctrl+Aを押すと、「0」のセルがすべて選択できます。

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検索の画面を閉じます。この状態でDeleteキーを押すと0が消えます。

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別解

この状態でB2:V11をコピーします。

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値の貼り付けをして計算式を消します。

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B1:V11を選択したまま、置換の画面を出します(Ctrl+H)。検索する文字列を「」、置換後の文字列は空欄、オプションとして「セル内容が完全に同一であるものを検索する」にチェックを入れます。

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すべて置換をすると、0が消えます。

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*補足説明*
置換の検索対象に「」がないのは、仮に、数式の計算結果だけを置換することができたとしても、数式の自動再計算で元に戻るからです。数式の計算結果を検索して全部選択をすることはできても、置換をすることはできません。

 

(罫線を使うとこんな図が描けます)

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2.最短経路問題

問題

縦5本・横20本の格子の道について、左上のスタートから右下のゴールまでの最短経路は何通りあるか、Excelを用いて計算しなさい。

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解説

高校数学では23C4=8855通りと計算しますが、ここではExcelで計算してみましょう。

最短経路問題はまずゴールから考えます。ゴールへたどり着ける道は2本しかありません。

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例えば、赤までの道が4通り、緑までの道が6通りあったとすると、ゴールに行くには必ず赤か緑を通る必要があるので10通りとなります。これはすべての点について言えることです。Excelで表すと上のセルと左のセルを足すことになります。

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スタートから右と下に行ける道は1本しかないので、一番上の道にある点と、一番左の道にある点に行くには1通りしかありません。

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これをExcelを使って計算します。まずA列と1行目に1を入力します。

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次に上のセルと左のセルを足します(=B1+A2)。

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オートフィルをします。これで完成です。8855通りとなります。

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このような三角形をパスカルの三角形といいます。

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たとえば、通行止めで通れない点があるときは、その点に該当するセルの計算式をDeleteで消せばよいです。この図の場合、5225通りとなります。

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逆に、必ず通らなければならない点(チェックポイント)がある場合は、この点より右上と左下は通ってはならないということですから、この部分の計算式を消します。この図の場合、チェックポイントまでが55通り、ゴールまでが3630通りとなります。

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3.繰り返しの計算はこちら

繰り返しの計算について、詳しくはこちらの記事をご覧ください。

 


解説は以上です。


4.動画版はこちら(無料)

この記事は、わえなび実力養成講座「ファンダメンタルExcel」Program 2-6-4 のYoutube動画を書き起こしたものです。

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ちなみに、繰り返しの計算関連の動画は全12回のシリーズです。すべて無料公開しています。ぜひご覧ください。


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